فعالیت ۱ ریاضی ششم
ناهد دیروز $\frac{۳}{۴}$ لیتر و امروز $\frac{۵}{۶}$ لیتر شیر نوشیده است. او می‌خواهد بداند در این دو روز روی هم چند لیتر شیر نوشیده است. راه‌حل او و دوستش را توضیح دهید. هر جا که لازم است راه‌حل را کامل کنید.
الف) ناهید ابتدا کسرهای مساوی $\frac{۳}{۴}$ و $\frac{۵}{۶}$ را با مخرج‌های برابر پیدا کرد و بعد پاسخ را به دست آورد:
$$\frac{۳}{۴} = \frac{\mathbf{...}}{\mathbf{۲۴}}, \quad \frac{۵}{۶} = \frac{\mathbf{...}}{\mathbf{۲۴}}$$
$$\frac{۳}{۴} + \frac{۵}{۶} = \frac{\mathbf{...}}{۲۴} + \frac{\mathbf{...}}{۲۴} = \frac{\mathbf{...}}{۲۴} = \mathbf{۱}\frac{۷}{۱۲} \text{ لیتر}$$
ب) مهدیه به روش دیگری عمل کرد. روش او و ناهید را با هم مقایسه کنید.
$$\frac{۳}{۴} = \frac{۶}{۸} = \frac{۹}{۱۲}$$
$$\frac{۵}{۶} = \frac{۱۰}{۱۲}$$
$$\frac{۳}{۴} + \frac{۵}{۶} = \frac{\mathbf{...}}{۱۲} + \frac{\mathbf{...}}{۱۲} = \frac{\mathbf{...}}{۱۲} = \mathbf{۱}\frac{۷}{۱۲} \text{ لیتر}$$
پ) شما کار مهدیه را ادامه دهید و کسرهای مساوی $\frac{۳}{۴}$ و $\frac{۵}{۶}$ را بنویسید.
$$\frac{۳}{۴} = \frac{۶}{۸} = \frac{۹}{۱۲} = \frac{\mathbf{...}}{۱۶} = \frac{۱۵}{\mathbf{...}} = \frac{۱۸}{۲۴} = \frac{\mathbf{...}}{۲۸} = \frac{\mathbf{...}}{۳۶}$$
$$\frac{۵}{۶} = \frac{۱۰}{۱۲} = \frac{۱۵}{\mathbf{...}} = \frac{\mathbf{...}}{۲۴} = \frac{۲۵}{\mathbf{...}} = \frac{\mathbf{...}}{۳۶}$$
$ ext{کسرهای مساوی چگونه به دست آمده‌اند؟}$
در کسرهای بالا دو کسر دیگر با مخرج‌های برابر پیدا کنید که با $\frac{۳}{۴}$ و $\frac{۵}{۶}$ برابر باشند. سپس آن‌ها را با هم جمع و نتیجه را با (الف) و (ب) مقایسه کنید.
$$\frac{۳}{۴} + \frac{۵}{۶} = \frac{\mathbf{...}}{۳۶} + \frac{\mathbf{...}}{۳۶} = \frac{\mathbf{...}}{۳۶} = \frac{\mathbf{...}}{۱۲} = \mathbf{۱}\frac{۷}{۱۲}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۲۵ ریاضی ششم
آفرین! این فعالیت مهم‌ترین روش جمع و تفریق کسرها با **مخرج‌های نامساوی** را آموزش می‌دهد: **هم مخرج کردن** با استفاده از **کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م)**.
### ۱. روش ناهید (یافتن مخرج مشترک $\mathbf{۲۴}$)
ناهد مخرج $\mathbf{۲۴}$ را به عنوان مخرج مشترک انتخاب کرده است (که یکی از مضرب‌های مشترک $\text{۴}$ و $\text{۶}$ است).
$$\frac{۳}{۴} = \frac{۳ \times ۶}{۴ \times ۶} = \frac{\mathbf{۱۸}}{۲۴}, \quad \frac{۵}{۶} = \frac{۵ \times ۴}{۶ \times ۴} = \frac{\mathbf{۲۰}}{۲۴}$$
$$\frac{۳}{۴} + \frac{۵}{۶} = \frac{\mathbf{۱۸}}{۲۴} + \frac{\mathbf{۲۰}}{۲۴} = \frac{\mathbf{۳۸}}{۲۴}$$
حالا کسر را ساده و به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم: $\frac{۳۸}{۲۴} = \frac{۱۹}{۱۲}$ (ساده شده بر $\text{۲}$). $\text{۱۹} \div \text{۱۲} = \mathbf{۱}$ باقی‌مانده $\mathbf{۷}$.
$$\frac{۳۸}{۲۴} = \mathbf{۱}\frac{۱۴}{۲۴} = \mathbf{۱}\frac{۷}{۱۲} \text{ لیتر}$$
**توضیح راه‌حل ناهید:** ناهید با ضرب مخرج‌ها در یکدیگر ($ ext{۴} \times \text{۶} = \text{۲۴}$) یا انتخاب مضرب مشترک، کسرها را هم مخرج کرده است.
---
### ۲. روش مهدیه (یافتن کوچک‌ترین مخرج مشترک $\mathbf{۱۲}$)
مهدیه از روش **کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م)** استفاده کرده است. ک.م.م $\text{۴}$ و $\text{۶}$، عدد $\mathbf{۱۲}$ است. این کار محاسبات را ساده‌تر می‌کند.
$$\frac{۳}{۴} = \frac{۳ \times ۳}{۴ \times ۳} = \frac{\mathbf{۹}}{۱۲}$$
$$\frac{۵}{۶} = \frac{۵ \times ۲}{۶ \times ۲} = \frac{\mathbf{۱۰}}{۱۲}$$
$$\frac{۳}{۴} + \frac{۵}{۶} = \frac{\mathbf{۹}}{۱۲} + \frac{\mathbf{۱۰}}{۱۲} = \frac{\mathbf{۱۹}}{۱۲} = \mathbf{۱}\frac{۷}{۱۲} \text{ لیتر}$$
**مقایسه:** هر دو روش نتیجه‌ی یکسانی دارند، اما روش **مهدیه (با مخرج $\mathbf{۱۲}$)** کارآمدتر است چون از **کوچک‌ترین مخرج مشترک** استفاده می‌کند و نیاز به ساده‌سازی کمتری دارد.
---
### ۳. ادامه کار مهدیه (یافتن کسرهای مساوی)
**کسرهای مساوی چگونه به دست آمده‌اند؟**
با **ضرب** صورت و مخرج کسر اصلی ($\frac{۳}{۴}$ یا $\frac{۵}{۶}$) در یک **عدد ثابت** (مضاعف کردن).
* **برای $\mathbf{\frac{۳}{۴}}$:** در $ ext{۴}, \text{۵}, \text{۶}, \text{۷}, \text{۹}$ ضرب شده است.
$$\frac{۳}{۴} = \frac{۶}{۸} = \frac{۹}{۱۲} = \frac{\mathbf{۱۲}}{۱۶} = \frac{۱۵}{\mathbf{۲۰}} = \frac{۱۸}{۲۴} = \frac{\mathbf{۲۱}}{۲۸} = \frac{\mathbf{۲۷}}{۳۶}$$
* **برای $\mathbf{\frac{۵}{۶}}$:** در $ ext{۲}, \text{۳}, \text{۴}, \text{۵}, \text{۶}$ ضرب شده است.
$$\frac{۵}{۶} = \frac{۱۰}{۱۲} = \frac{۱۵}{\mathbf{۱۸}} = \frac{\mathbf{۲۰}}{۲۴} = \frac{۲۵}{\mathbf{۳۰}} = \frac{\mathbf{۳۰}}{۳۶}$$
**جمع با مخرج مشترک $\mathbf{۳۶}$:**
از کسرهای مساوی بالا استفاده می‌کنیم:
$$\frac{۳}{۴} = \frac{\mathbf{۲۷}}{۳۶} \quad (\text{۳} \times \text{۹})$$
$$\frac{۵}{۶} = \frac{\mathbf{۳۰}}{۳۶} \quad (\text{۵} \times \text{۶})$$
$$\frac{۳}{۴} + \frac{۵}{۶} = \frac{\mathbf{۲۷}}{۳۶} + \frac{\mathbf{۳۰}}{۳۶} = \frac{\mathbf{۵۷}}{۳۶}$$
حالا کسر $\frac{۵۷}{۳۶}$ را ساده و به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم. ($ ext{۵۷} \div \text{۳۶} = \mathbf{۱}$ باقی‌مانده $athbf{۲۱}$):
$$\frac{۵۷}{۳۶} = \mathbf{۱}\frac{۲۱}{۳۶}$$
$$\mathbf{۱}\frac{۲۱}{۳۶} = \mathbf{۱}\frac{۷}{۱۲} \quad (\text{ساده شده بر } \mathbf{۳})$$
**مقایسه با روش‌های (الف) و (ب):** نتیجه‌ی $\mathbf{۱}\frac{۷}{۱۲}$ در هر سه روش یکسان است، اما روش‌هایی که از مخرج $athbf{۱۲}$ (ک.م.م) استفاده می‌کنند، کارآمدترین هستند.
